Didaktische Anleitung zum Modul

Hookesches Gesetz: Federn in Reihe und parallel: Didaktischer Leitfaden für Lehrkräfte

Leitfaden zum didaktischen Einsatz des Simulators Hooke's Law im Unterricht: Erklären des Hookeschen Gesetzes ( $F = k \cdot x$ ), der gespeicherten elastischen Energie und: vor allem, des Verhaltens von Federsystemen in Reihe und parallel, mit der mächtigen (umgekehrten) Analogie zu elektrischen Widerständen. Konzipiert für Physik- und Elektrotechniklehrkräfte.

Modul: Hooke's Law · Drei Tabs: Single · Series · Parallel

Physikalisches Phänomen

Das Hookesche Gesetz, 1660 von Robert Hooke formuliert, beschreibt das elastische Verhalten einer idealen Feder: Die Kraft, die nötig ist, um die Feder um eine Strecke $x$ zu dehnen (oder zu stauchen), ist proportional zu dieser Auslenkung.

$F = k \cdot x$

Der Koeffizient $k$ , Federkonstante oder Steifigkeit genannt, wird in $N/m$ gemessen und ist eine Eigenschaft der Feder (Geometrie, Material, Windungszahl). Hohes $k$ bedeutet eine steife Feder, niedriges $k$ eine weiche.

Die in der Verformung gespeicherte Energie, elastische Energie genannt, beträgt:

$U = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^{2}$

Im $F$ - $x$ -Diagramm ist sie die Fläche unter der Geraden $F = k x$ , das im Simulator markierte Dreieck.

Bei der Kombination mehrerer Federn hängt die äquivalente Steifigkeit von der Schaltung ab:

In Reihe (hintereinander): $\frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$ : das System ist weicher als die weichste Einzelfeder.
Parallel (nebeneinander): $k_{e q} = k_{1} + k_{2}$ : das System ist steifer als die steifste Einzelfeder.

Dieses Verhalten ist genau umgekehrt zu elektrischen Widerständen (Reihe additiv, parallel reziprok): eine der wirkungsvollsten begrifflichen Brücken zwischen Physik und Elektrotechnik.

Schlüsselbegriffe

Hookesches Gesetz: direkte Proportionalität $F = k x$ innerhalb der Elastizitätsgrenze (darüber hinaus deformiert sich die Feder plastisch und das Gesetz gilt nicht mehr).
Federkonstante $k$ : Steigung der Geraden im $F$ - $x$ -Diagramm. Steiler = steifer.
Elastische Energie $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ : quadratische Abhängigkeit von der Auslenkung: bei doppeltem $x$ vierfache Energie.
Rückstellkraft: die Feder übt stets eine der Verformung entgegengesetzte Kraft aus: $F_{r \overset{u}{¨} ck} = - k x$ .
Reihenschaltung: gleiche Kraft, unterschiedliche Auslenkungen; äquivalente Steifigkeit kleiner als jede einzelne.
Parallelschaltung: gleiche Auslenkung, unterschiedliche Kräfte; äquivalente Steifigkeit größer als jede einzelne.
Umgekehrte Analogie zu Widerständen: Federn in Reihe ↔ Widerstände parallel; Federn parallel ↔ Widerstände in Reihe.

Einsatz im Unterricht

Einstieg, Tab Single. Mit einer einzigen Feder beginnen. Den Schieberegler $F$ verändern und beobachten, wie sich die Feder linear dehnt; der rote Punkt im $F$ - $x$ -Diagramm wandert auf der Geraden mit Steigung $k$ . Schüler:innen sollen $x = F / k$ mit einfachen Werten im Kopf ausrechnen (z. B. $F = 10 N$ , $k = 200 N/m \Rightarrow x = 5 cm$ ), bevor sie den KPI lesen. Anschließend $k$ bei festem $F$ variieren: die Steigung der Geraden ändert sich, die Auslenkung sinkt mit zunehmender Steifigkeit.

Vertiefung: elastische Energie. Weiterhin im Tab Single die Dreiecksfläche unter der Geraden hervorheben: sie ist $U = \frac{1}{2} F x = \frac{1}{2} k x^{2}$ . $F$ verdoppeln und den Energie-KPI beobachten: er wird viermal so groß, nicht doppelt. Hier verankert man die quadratische Abhängigkeit und führt die Idee der "gespeicherten Arbeit" ein.

Begrifflicher Kern, Tab Series. Zum Reihen-Tab wechseln, $k_{1} = 100 N/m$ und $k_{2} = 400 N/m$ . Hervorheben, dass dieselbe Kraft $F$ durch beide Federn geht (actio = reactio am Zwischenknoten), die Auslenkungen $x_{1} = F / k_{1}$ und $x_{2} = F / k_{2}$ aber unterschiedlich sind: die weichere Feder dehnt sich mehr. Im $F$ - $x$ -Diagramm liegt die durchgezogene Linie ( $k_{e q}$ ) unterhalb der beiden gestrichelten: das Gesamtsystem ist weicher als jede einzelne Komponente.

Begrifflicher Kern, Tab Parallel. Dasselbe Paar $k_{1}$ und $k_{2}$ parallel geschaltet. Nun ist die Auslenkung gemeinsam (der Lastbalken bewegt sich starr), die Kraft teilt sich auf: $F_{1} = k_{1} x$ und $F_{2} = k_{2} x$ . Die $k_{e q}$ -Linie liegt jetzt oberhalb beider gestrichelten: das System ist steifer als die steifste der beiden Komponenten.

Abschluss: Analogie zu Widerständen. An der Tafel eine Parallele zeichnen: zwei Widerstände $R_{1}$ , $R_{2}$ und zwei Federn $k_{1}$ , $k_{2}$ . Zeigen, dass die Mathematik identisch, die Schaltungen aber vertauscht sind: Federn in Reihe verhalten sich wie Widerstände in Parallelschaltung, und umgekehrt. Ein wertvoller Moment für Schüler:innen elektro-/elektronischer Fachrichtungen.

Praxisbeispiele

Auto-Federung. Die Federn an jedem Rad arbeiten parallel zum Fahrgestell: die effektive Steifigkeit ist die Summe. Eine Feder durch eine steifere zu ersetzen, ändert die Höhe nur auf dieser Seite.
Taschenfederkernmatratze. Dutzende unabhängige parallele Federn: jede reagiert nur auf die lokale Last, ohne die Verformung an die Nachbarn weiterzugeben.
Trampolin. Die Randfedern sind alle parallel: nur so erreicht man ein hohes $k_{e q}$ , während jede einzelne Feder weicher und sicherer bleibt.
Eisenbahnwaggon-Kette mit Federpuffern. Reihensystem: eine einzige Zugkraft, von Waggon zu Waggon übertragen, unterschiedliche Auslenkungen an jedem Puffer.
Federwaage / Dynamometer. Eine einzige kalibrierte Feder: Kraft direkt aus der Auslenkung gemessen, $F = k x$ in Aktion.
Analoger mechanischer Tachometer. Eine Torsionsfeder wirkt dem rotierenden Magneten entgegen; der Gleichgewichtswinkel ist proportional zur Geschwindigkeit.

Diskussionsfragen für den Unterricht

Zwei identische Federn mit $k = 200 N/m$ werden zuerst in Reihe, dann parallel geschaltet. Wie groß sind die beiden $k_{e q}$ ? Welche Schaltung ist "weicher"?
Eine Feder mit $k = 100 N/m$ wird um $10 cm$ gedehnt. Wie viel Energie ist gespeichert? Und bei $20 cm$ ?
Warum sind Auto-Federungen parallel und nicht in Reihe geschaltet? Was würde passieren, wenn sie in Reihe wären?
In einer Reihenschaltung, welche Feder speichert mehr Energie: die steifere oder die weichere? (Hinweis: $U_{i} = \frac{1}{2} k_{i} x_{i}^{2} = \frac{F ^{2}}{2 k _{i}}$ .)
Vergleich mit Widerständen: zwei $100 Ω$ -Widerstände parallel ergeben $50 Ω$ . Zwei $100 N/m$ -Federn parallel ergeben $200 N/m$ . Warum ist die Analogie umgekehrt?